POLINOMIOS: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a_n xⁿ + a_{n − 1} x^{n − 1} + a_{n − 2} x^{n − 2}+ ... + a₁x¹ + a₀

Siendo:

a_n, a_n−1 ... a₁, a_o números, llamados coeficientes

n un número natural

x la variable o indeterminada

a_n es el coeficiente principal

a_o es el término independiente

DEFINICION: Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x2 + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

Tipos de polinomios

Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x² + 0x + 0

Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x² + 3xy

Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 3x² − 3

Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x³ + 5x – 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x³

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 3x³ + 7x − 2

SUMA DE POLINOMIOS.

La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado. Dados los dos polinomios P(x) y Q(x).

La suma se puede hacer de dos formas distintas: en horizontal y en vertical. Vamos a ver las dos maneras, y después puedes elegir cuál te resulta más fácil para utilizar.

Suma de polinomios en horizontal

Para hacer las operaciones en horizontal primero escribimos un polinomio y seguido en la misma línea escribimos el otro que vamos a sumar o restar. Después, agrupamos términos semejantes.

Ejemplo: Vamos a realizar la suma. Para ello escribimos cada uno rodeado de paréntesis y con el signo de la suma entre ellos.

Fíjate en los términos que son semejantes entre los dos polinomios. No podemos sumar dos términos que tienen distinto grado, solo podemos agrupar los que sean semejantes y después sumar.

Suma de polinomios en vertical

Para hacer las sumas en vertical debemos escribir el primer polinomio ordenado. En el caso de que sea incompleto es conveniente dejar los huecos libres de los términos que falten. Después, escribimos el siguiente polinomio debajo del anterior, de manera que coincida justo debajo el término semejante al de arriba. Después, ya podemos sumar cada columna.

Fíjate en el primer polinomio. Hay que escribirlo ordenado y ver si está completo. En este caso falta el término de grado 3, entonces debemos dejar el hueco correspondiente o escribir un cero en su lugar.

Ahora escribimos el segundo debajo del primero, de manera que coincidan los términos semejantes uno debajo de otro.

SUMA HORIZONTAL 

Solo queda sumar cada columna, es decir,  sumar los términos semejantes.

Ya has aprendido a sumar polinomios de dos maneras diferentes: en horizontal y en vertical. ¿Cuál te ha parecido más sencilla?

RESTA DE POLINOMIOS

En esta operación dada la suma de dos sumandos (llamada minuendo) y uno de los sumandos (llamado sustraendo), se busca el otro sumando (llamado resta o diferencia).
Es decir, que la suma del sustraendo y la resta o diferencia, es igual al minuendo.

Si de “a” (minuendo) queremos restar “b” (sustraendo), la diferencia será “a – b”
Y ésta será la diferencia si sumada con el sustraendo “”b” es igual al minuendo “a”

Regla general para restar

Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.
Recuerda que si un término no tiene escrito su signo, el término es positivo
Veamos ejemplos:

RESTA DE POLINOMIOS FORMA VERTICAL

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Multiplicación de monomios con polinomios:

Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio.

Reglas:

• Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.

• Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente

• Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos:

Multiplicación de polinomios.

La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero.

Reglas:

• Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.

• Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente

• Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos:

Como puede verse en el segundo ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es planteándolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando términos semejantes.


FORMA HORIZONTAL

Presentación de ejemplo dinámico

http://www.aulafacil.com/algebra/curso/e12.html

DIVISION DE POLINOMIOS

Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:

D = d · C

Donde:             

D es el Dividendo (producto de  los factores “d” y “C”)
d es el divisor (factor conocido)

C es el cociente (factor desconocido)

Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

Leyes que sigue la división:

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) ÷ (+) = +
(-) ÷ (-) = +
(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (+)=-

Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

                                   mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)

Donde m y n son números y n es distinto de cero.

Ley de exponentes: la división  de dos o más potencias de la misma base es igual a la   base elevada a la diferencia de las potencias.

Nota: resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria así:

División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

• Se aplica ley de signos

• Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

• Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

• Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

• El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

• Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

• El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

• Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

• Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Presentación de ejemplo dinámico.

http://www.aulafacil.com/algebra/curso/e15.html

División Sintética

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados  pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos  . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer número del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número del tercer renglón.

6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejemplos:

Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo.  Para el uso de este método puede ser positivo o negativo.